¿Cuál es la probabilidad que otro niño en una fiesta de cumple haya nacido el mismo día que nosotros?

Una de las situaciones que más nos gusta vivir y comentar es cuando conocemos a alguien que ha nacido el mismo día que nosotros. Automáticamente, lo primero que decimos es “¡¡Vaya coincidencia!!”. Queriendo, en cierto modo, alertar sobre lo “afortunados” que son los coincidentes. En muchas ocasiones, incluso se genera un sentimiento de cercanía y familiaridad.

Sin embargo, esta situación no es tan “rara” como parece. Es decir, que la probabilidad de que ocurra ese escenario de coincidencia, no es tan “extraordinario” o excepcional. Pensemos en un ejemplo.

Invitados a una fiesta de cumpleaños: ¿qué probabilidad hay de haber nacido el mismo día? (Fuente: https://i1.wp.com/entrepadres.imujer.com/sites/entrepadres.imujer.com/files/Importancia-de-las-fiestas-de-cumpleanos-infantiles-3.jpg)

Invitados a una fiesta de cumpleaños: ¿qué probabilidad hay de haber nacido el mismo día? (Fuente: http://entrepadres.imujer.com/sites/entrepadres.imujer.com/files/Importancia-de-las-fiestas-de-cumpleanos-infantiles-3.jpg)

Imaginaros un cumpleaños en el que os juntáis 25 personas. Y de repente, dos de ellos se ponen a hablar y se dan cuenta que han nacido el mismo día. La probabilidad de que este suceso ocurra puede resultarnos muy baja, dado que en un año hay 365 o 366 fechas posibles (si es o no bisiesta). Sin embargo, a nivel probabilístico, el suceso no es tan poco probable.

La que se conoce como la paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas hay una probablidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. Y casi del 100% para 366 personas (teniendo en cuenta los años bisiestos).

El problema puede generalizarse para una reunión de n personas y formular la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día a través de la siguiente fórmula que calcula ese % de probabilidad de coincidencia:

Es decir, aplicamos la regla de Laplace, es decir, el cociente el número de casos favorables y los posibles. En este caso:

  • Número de Casos favorables: como la primera de las personas puede haber nacido uno de los 365 días del año, la siguiente unos de los 364 días restantes y así sucesivamente, resultan 365 × 364 × 363 × 362 × 361 x … x 341 = 4.9215439 x 10e63 casos de que no existan dos personas que hayan nacido el mismo día .
  • Número de Casos posibles de celebración de cumpleaños, suponiendo el año de 365 días, es: 36525 = 1,1410945 x 10e64

Es decir, que aplicando la regla de Laplace, nos quedaría que la probabiliad de que no coincidan sería: P(Ac) =casos favorables/casos posibles = 0,4915 / 1,14 = 0,4311

Por lo tanto, la probabilidad de que sí coincidan, quedaría formulado de la siguiente manera: p(A) = 1 – p(Ac) = 1 – 0,4311 = 0,5689, es decir, un 56,9%. 

Esto, representado gráficamente, quedaría tal y como sigue:

Es decir, la próxima vez que vayáis a un cumpleaños, y haya 25 personas, pensad que la probabilidad que haya otra persona que haya nacido el mismo día que vosotros es del 56.9%. Esto es una situación muy frecuente en nuestro día a día, dado que compartir trabajo, equipo de fútbol, grupo de clase con otras 24 personas, no es poco habitual. Por ejemplo, ¿hay 2 jugadores del Athletic que hayan nacido en el mismo día? Podríamos bautizarla como la “Paradoja del Athletic” 🙂

Como siempre, las matemáticas dando respuesta a situaciones de nuestro día a día.

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